FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
CANTIDADES
ESCALARES Y VECTORIALES
En
este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la
dirección y el sentido de las cantidades físicas.
Algunas
cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad; por
ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud y tiempo reciben
el nombre de magnitudes escalares.
Por
definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar su
cantidad expresada en números y la unidad de medida.
Existe
otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad expresada
en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente
la dirección y sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes
vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida,
Yucatán, y nos pregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde
se encuentre le diremos aproximadamente a qué distancia está y qué dirección
seguir. Lo mismo sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un
cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se
aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el
frente o hacia atrás.
Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y
sentido. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.
Como se señaló anteriormente, una cantidad vectorial es aquel
que tiene una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que
lleva una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5
km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada
gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de
recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita
horizontal sobre la letra que la define por ejemplo: 
representan cada una un vector como son la velocidad, el
desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.
representan cada una un vector como son la velocidad, el
desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.
REPRESENTACIÓN GRAFICA
DE UN VECTOR
Un vector tiene las siguientes características
Ø Punto de aplicación u origen
Ø Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de
acuerdo con una escala convencional.
Ø Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal,
vertical u oblicua.
Ø Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a
la derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.
Para representar un vector se necesita
una escala convencional, la cual se establece de acuerdo con la magnitud del
vector y el tamaño que se le desee dar.
Vectores Coplanares y no Coplanares
Los vectores pueden clasificarse
en coplanares, si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes, y no
coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos.
Sistema de vectores Colineales
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas
vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector
colineal cera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es
hacia la izquierda o hacia abajo.
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o
línea de acción de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce
constituye el punto de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o
concurrentes porque forman un ángulo entre ellos.
Sistema de Vectores Paralelos.
Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria,
jamás se pueden unir.
Conceptos de Resultante y Equilibrante de un Sistema de Vectores
La Resultante
de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismo efecto que
los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de
sustituir un sistema de vectores.
La Equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector
encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud y
dirección que la resultante, pero con sentido contrario.
Propiedades de los Vectores (principio de transmisibilidad y
propiedad de los vectores libres.)
Este principio
se enuncia como “ El efecto externo de un vector o fuerza no se modifica si es
trasladado en su misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción”.
Por ejemplo si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza,
el resultado será el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos.
Propiedad de los Vectores libres
Los vectores no se
modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se
utilizará al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo y del
polígono.
Suma de Vectores.
Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la
misma especie lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3
horas + 7 horas= 10 horas, 200 km + 300 km = 500 km. Sin embargo para sumar
magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó aparte de magnitud tienen
dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma
aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.
Para realizar la suma gráfica
de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo". Para ello,
trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa.
Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal
del paralelogramo, que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el
vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico que va a continuación:
Si
tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, sumando
primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero también
podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en
módulo, dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos
un vector equivalente al tercero y así sucesivamente. Finalmente, unimos el
origen del primer vector con el extremo del último que colocamos y, el vector
resultante es el vector suma.
MÉTODO PARALELOGRAMO
|
||||
 |
||||
En este método, los vectores se deben
trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la
"cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el
orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se
representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre
con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un
triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el
método.
En la figura 1 el vector de color
negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.
Si la operación se hace gráficamente
con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector
de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los
vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La
dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que
forma con una línea horizontal.
Pero no nos basta con saberlo hacer
gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello
se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo
rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.
Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante. Para ello empleemos la relación:   |
SUMA ANALITICA DE
VECTORES.
Merli quiere saber donde
se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.
Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego
caminar 19 km al este. Hallar el
resultado grafico y analíticamente.
N Y
V2 = -19 km v1 = 13 km
O E
-6
13 X
S
DATOS
å VX = V1 + V2
V1 = +13 KM
å VX =
13+(-19)
V2 = -19 KM
å VX
= 13-19 = -6
2.- Norma quiere
saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al
norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la
distancia o el punto donde Norma se encuentra?
15
km. al norte V1
10
km. al sur V2
12
km. al oeste V3
å¦y = V1 + V2
å¦y = 15 + (-16)
å¦y = 5
å¦x = V3
å¦y = .12
a2= b2
+ C2
R=
(Fy)2 = (Fx)2
R= (Fy)2 + (Fx)2 R= (5)2 + (-12)2 R= 25 + 144 R= 169
R= 13
km.
Problema por el método del
Polígono
Un barco viaja 100 km hacia el norte en el
primer día de su viaje, 60 km hacia el noreste en el segundo día y 120 km al
este en el tercer día. Encuéntrese el desplazamiento resultante por el método del polígono.
El método del polígono
para la adición
De vectores
Solución del método del polígono
1.- Elija una escala y determine la
longitud de las flechas que corresponden a cada vector.
2.- Dibuje a escala una flecha que
represente la magnitud y la dirección del primer vector.
3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida
con el extremo del primer vector.
4.-Continué el procedimiento de unir el
origen de cada nuevo vector con el extremo del vector procedente, hasta que
todos los vectores del problema hayan sido dibujados.
5.-Dibuje el vector resultante partiendo
del origen (que coincide con el origen del primer vector) y terminando en el
extremo del ultimo vector.
6.-Mida con regla y transportador la
longitud y el ángulo que forma el vector resultante para determinar su magnitud
y su dirección.
Solución: Una escala conveniente puede ser
20 km = 1 cm. Lo cual quiere decir que para el desplazamiento de 100 km al
norte se trazan 5 cm, para el desplazamiento de 60 km, se trazan 3 cm y
finalmente para el desplazamiento de 120 km al este se trazan 6 cm. Realizando
la medición con una regla, a partir de un diagrama a escala, se observa que la
flecha resultante del punto de partida hasta el final del desplazamiento de 120
km al este, tiene 10.8 cm de longitud.
Por lo tanto la magnitud del vector resultante en km es:
10.8 cm x 20 km/1 cm =216
km
Si se mide el ángulo θ con un
transportador, situando el centro del mismo en el origen de partida (origen de
los ejes coordenados X y Y) resulta que la dirección es de 41°.
Por
lo tanto, el desplazamiento resultante es:
R
= 216 km, 41°.
El método gráfico del polígono y en general
los métodos gráficos aportan resultados aproximados, los métodos analíticos
como el Teorema de Pitágoras dan resultados más precisos. A continuación se
resolverá el problema por el Teorema de Pitágoras:
Primeramente
se trazan los desplazamientos a partir de los ejes coordenados:
El
primer desplazamiento de 100 km al Norte se traza sobre el eje Y hacia arriba,
el segundo desplazamiento de 60 km al noreste al no especificar el ángulo, se
traza exactamente a la mitad del primer cuadrante, es decir a 45° del eje X y
Y, y el tercer desplazamiento de 120 km al Este, se traza sobre el eje X a la
derecha.
A
continuación se construye un cuadro de fuerzas, aplicando las fórmulas de las
componentes rectangulares de un vector, y tomando en cuenta los signos de las
coordenadas en los cuadrantes respectivos:
Fx
= F cos θ. Fy = F sen θ.
F Angulo Componente X Componente Y
100
km 0° 0 + 100 km
60
km 45° 60 km cos 45° 60
km sen 45°
120
km 0° 120
km
________________ ______________
ΣFx = 60 km cos 45°+ 120 km ΣFy= 100 km + 60 km
sen 45°
ΣFx = 60 km (0.7071)
+ 120 km ΣFy
= 100 km + 60 km (0.7071).
ΣFx = 42.42 km + 120
km= 162.42 km ΣFy = 100 km + 42.42
km = 142.42 km
Una vez obtenidas la
sumatoria de fuerzas X y la sumatoria de fuerzas Y, se aplica la fórmula del
Teorema de Pitágoras que es la raíz cuadrada de la sumatoria de fuerzas X al
cuadrado y la sumatoria de fuerzas Y al cuadrado.
R = √ (Fx)2 + (Fy)2.
Sustituyendo valores tenemos:
R = √ (162.42 km)2 + (142.42 km)2.
R = √ 46663.7128
R = 216 km.
Ahora
para obtener el ángulo del vector resultante, se aplica la función
trigonométrica tangente mediante la siguiente fórmula:
θ = tan-1 Fy θ = tan-1 = 142.42 = 0.8768. θ = tan-1 0.8768 = 41.24°.
Fx
162.42
Como se puede observar, tanto por el método
gráfico del polígono como por el método analítico del Teorema de Pitágoras, los
resultados son los mismos.
R = 216 km θ = 41.24°.
Método del paralelogramo.
El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos
vectores a la vez, consiste en dibujar dos vectores a escala con sus orígenes
coincidiendo en su origen común, los vectores forman de esta manera dos lados
del paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas
a los vectores y de igual longitud, formándose así el paralelogramo. La
resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del
origen común de las dos flechas que representan los vectores y el ángulo se
mide con el transportador.
1. Una cuerda se
enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo de 120º. Si de uno de los
extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con una fuerza de 20 N ¿Cuál
es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
Solución: utilizando una escala 1 cm = 10 N
se tiene:
60
N x 1 cm = 6 cm. 20 N x 1 cm = 2
cm
10 N 10 N
En la figura anterior, se construyó un
paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas a partir de un origen común y
con un ángulo de 120° entre ellas. Al completar el paralelogramo se puede
dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R y θ
con una regla y un transportador se obtienen 52.9 Newtons para la magnitud y
19.1° para la dirección. Por consiguiente,
R = (52.9 N, 19.1°).
Ahora
al igual que como se hizo con el método del polígono, se realizará la obtención
del vector resultante del problema anterior con el método analítico del teorema
de Pitágoras.
Primeramente
se trazan los dos vectores, teniendo como origen común el origen de los ejes X
y Y.
A
continuación se procede a construir el cuadro de fuerzas. Nótese en el bosquejo
del problema, que el vector de 20 Newtons, forma un ángulo de 60° respecto al
eje X en el segundo cuadrante, ya que éste ángulo es suplementario al de 120°
que es el ángulo que hay entre los 2 vectores, por lo cual trabajaremos con el
ángulo de 60°. Recuerde los signos de los ejes X y Y en el primer y segundo
cuadrantes, (+,+ y -,+ respectivamente).
Fuerza Angulo Componente X Componente Y
20
N 60° - 20 N cos 60° 20 N sen 60°
60
N 0° + 60 N 0
_______________ _______________
ΣFx = - 20 N cos 60° + 60 N ΣFy = 20 N sen 60°
ΣFx = - 20 N (0.5) + 60 N ΣFy = 20 N (0.8660).
ΣFx = -10 N +60 N ΣFy = 17.32 N
ΣFx = 50 N ΣFy = 17.32 N
Una
vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y fuerzas Y se aplica el Teorema de
Pitágoras.
R
= √ (Fx)2 + (Fy)2
R
= √ (50 N)2 + (17.32 N)2
R
= √ (2500 N) + (300 N)
R = √ 2800 N
R = 52.91 N
A continuación se obtiene el valor del
ángulo de la resultante con la función trigonométrica tangente.
θ = tan-1 Fy = θ = tan-1 = 17.32 N = 0.3464 = θ = tan-1 0.3464 = 19.1°.
Fx 50 N
Como se ve de nueva cuenta, los resultados
tanto por el método gráfico como por el método analítico son iguales:
R
= 52.91 N, θ = 19.1°.
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
1.- Merli quiere saber
donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este;
cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente.
N Y
V2 = -19 km v1 = 13 km
O
E
-6
13 X
S
DATOS
å VX = V1
+ V2
V1 = +13 KM
å VX =
13+(-19)
V2 = -19 KM å VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere
saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al
norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la
distancia o el punto donde Norma se encuentra?
15
km. al norte V1
10
km. al sur V2
12
km. al oeste V3
å¦y = V1 + V2
å¦y = 15 + (-16)
å¦y = 5
å¦x = V3
å¦y = .12
a2= b2
+ C2
R=
(Fy)2 = (Fx)2
R= (Fy)2 + (Fx)2 R= (5)2 + (-12)2 R= 25 + 144 R= 169
R= 13
km.
θ= Tan-1 Fy/Fx
= tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.
3.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres
fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40
libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica.
Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas
cartesianas:
Primeramente se construye el cuadro de
fuerzas.
F ángulo Componentes X Componentes Y
20
lb 0° 20
lb 0
30
lb 30° -30 lb cos 30° 30 lb sen 30°
40
lb 52° -40 lb cos 52° -40 lb sen 52°
_____________________ ____________________
ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°- 40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb sen
52°
ΣFx
= 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy=
30 lb (0.5)-40 lb (0.7880).
ΣFx
= 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy=
15 lb- 31.52 lb
ΣFx
= 20 lb- 50.6 lb ΣFy=
-16.52 lb
ΣFx
= - 30.6 lb ΣFy=
-16.52 lb
Una vez obtenidos la
sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para
obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos
negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante.
R
= √ (Fx)2 +(Fy)2.
R
= √ (- 30.6 lb)2 + (- 16.56 lb)2.
R = √ 1210.59 lb
R = 34.8 lb
Para obtener el ángulo de la resultante, se
aplica la función trigonométrica tangente:
θ = tan-1 Fy θ = tan-1 │-16.52 lb │ = tan-1 0.5398 = 28.36°.
Fx -
30.6 lb
R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.
El ángulo es debajo del eje x en el tercer
cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede
expresar como 208.36° al sumar los 180° correspondientes a los dos primeros
cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede
expresar como:
R = 34.8 lb, 208.36°
medidos desde el primer cuadrante.
θ= Tan-1
Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.
COMPONENTES
RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN EL PLANO.
Componentes
rectangulares de una fuerza.
Todo
vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les
denomina componentes.
Cuando
las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes
rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares
del vector rojo.
Las
componentes
rectangulares cumplen las siguientes relaciones
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes
rectangulares del vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a
(Teorema de Pitágoras a partir de sus componentes rectangulares. La última
ecuación es para hallar la dirección del vector a (ángulo) con la función
trigonométrica tangente.
Ejemplo:
Una fuerza tiene
magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes
rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
El resultado nos lleva a
concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N
y apunta en dirección negativa del eje X . La componente en Y tiene módulo
igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la
figura 3.
SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES.
Cuando vamos a
sumar vectores, podemos optar por
descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma
vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de
las resultantes en las direcciones x e y.
Ejemplo:
Sumar los vectores
de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.
Lo primero que debemos
hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor.
Esto se ilustra en la figura 2
A continuación realizamos
las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y:
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Considere una fuerza F actuando en el origen O del
sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z.
Para definir la dirección de F, se
dibuja el plano vertical OBAC que contiene
a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje
vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el
plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Øy
que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente
vertical Fy y una componente horizontal Fh; las
componentes escolares correspondiente son:
|
|
sen
Ø = 
Ø 
Ø y sen Ø
Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx
y Fz a lo largo de los ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación
se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene las siguientes expresiones para los
componentes escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.
Por lo tanto, la fuerza dada F se ha
descompuesto en 3 componentes vectoriales rectangulares Fx y Fy
Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.
Aplicando el teorema de Pitágoras a
los triángulos OAB y OCD se escribe:
F2 = (OA) 2 = (OB)2 +
(BA)2 = F2y+ F2h
F2 = (OC)2 = (OD)2
+ (DC)2 = F2x+ F2z
Eliminando F2h
de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la siguiente
relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares.
cos Ø=
Fx = Fh cos Ø
Fx Fsen Øy cos Ø
La relación existente entre la
fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fz se visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo
una caja que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de
dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para
derivar primera de las fórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras 2,31a y c,
también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD y OAE. Se observa
que estos triángulos ocupan en la caja posiciones comparables con la del los
triángulos OAB. Al enunciar Øx y Øz, como los ángulos que
F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas
similares a Fy = F cos Øy entonces se escribe.
Los
tres ángulos 
definen la dirección de fuerza F; éstos son los que se
utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los
ángulos 
Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de se conocen como los
cosenos directores de la fuerza F.
definen la dirección de fuerza F; éstos son los que se
utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los
ángulos Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de se conocen como los
cosenos directores de la fuerza F.
Introduciendo los vectores unitarios
i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los x, y y = figura 2.32 F
puede expresarse de la siguiente forma.
Donde los componentes escalares Fx
y Fy Fz están definidas por las relaciones (2.19).
Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma
ángulos de 60º, 45º y 120º con los ejes x y y z, respectivamente. Encuentre los
componentes Fx y Fy Fz de la fuerza.
Sustituyendo F = 500 N, 
en las formulas se escribe.
en las formulas se escribe.
Llevando los valores obtenidos para
las componentes escalares de F a la ecuación (2.20) se tiene.
F
= Fxi + Fyj + Fzk
Como en el caso de los problemas
bidimensionales, un signo positivo indica que la componente tiene el mismo
sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indica que esta tiene
un sentido opuesto al del eje.
El ángulo que forma una fuerza F con
un eje siempre debe ser medido a parir del lado positivo del eje y siempre debe
estar entre 0 y 180º. Un ángulo 
menos que 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que
está fija a 0x está en el mismo lado del plano yz que el
eje x positivo; entonces cos y Fx serán positivos. Un ángulo mayor que 90º (obtuso)
indica que F está en el otro lado del plano yz; entonces cos y Fx serán negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos
son agudos, mientras
que 
es obtuso;
consecuentemente Fx y Fy son positivos mientras que Fz
es negativo.
menos que 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que
está fija a 0x está en el mismo lado del plano yz que el
eje x positivo; entonces cos y Fx serán positivos. Un ángulo mayor que 90º (obtuso)
indica que F está en el otro lado del plano yz; entonces cos y Fx serán negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos
son agudos, mientras
que es obtuso;
consecuentemente Fx y Fy son positivos mientras que Fz
es negativo.
Sustituyendo las expresiones
obtenidas para Fx y Fy Fz en (2.19) se obtiene
la siguiente expresión.
La cual muestra que la fuerza F
puede ser expresada como el producto del escalar F y un vector.
Obviamente, el vector 
es un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya dirección es
la misma que la de F (figura 2.33). El vector se conoce como el
vector unitario a lo largo de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se
observa que las componentes del vector unitario son iguales,
respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de F:
es un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya dirección es
la misma que la de F (figura 2.33). El vector se conoce como el
vector unitario a lo largo de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se
observa que las componentes del vector unitario son iguales,
respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de F:
Se debe señalar que los valores de
los tres ángulos no son independientes. Recordando que la suma de los
cuadrados de las componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al
cuadrado se escribe.
no son independientes. Recordando que la suma de los
cuadrados de las componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al
cuadrado se escribe. 
En el caso del ejemplo 1, una vez
que se han seleccionado los valores 
el valor de 
debe ser igual a 60º o a 120º para que se cumpla la identidad
(2.24)
el valor de debe ser igual a 60º o a 120º para que se cumpla la identidad
(2.24)
Cuando se conocen las componentes Fx
y Fy Fz de una fuerza F, la magnitud F de la fuerza se
obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver para los cosenos
directores.
Y
se pueden encontrar los ángulos que caracterizan la
dirección de la fuerza F.
que caracterizan la
dirección de la fuerza F.
Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las
componentes Fx = 20Ib, Fy=-30Ib y Fz = 60Ib.
Determine su magnitud F y los ángulos que está forma con los
ejes coordenados.
que está forma con los
ejes coordenados.
A partir de la fórmula (2.18) se
obtiene.
Sustituyendo los valores de las
componentes y la magnitud F en las ecuaciones se escribe.
Calculando sucesivamente cada uno de
los cocientes y su respectivo arco coseno se obtiene.
Estos cálculos pueden llevarse a
cabo fácilmente con la ayuda de una calculadora.
Otro tipo de problemas de vectores
en el espacio, es cuando se dan como datos, solamente 2 de los ángulos
directores, y una sola de las componentes, y se pide hallar la Fuerza
resultante F, las otras dos componentes y el ángulo restante. Para ilustrar
como se resuelven este tipo de problemas considere el siguiente ejemplo.
1.- Una fuerza actúa en el
origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55° y
Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine
a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de
Θx.
Lo primero que hay que
hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.
cos2 Θx+cos2
Θy+ cos2Θz= 1 despejando cos2 Θx tenemos:
cos2 Θx= 1-
(cos2 Θy+ cos2Θz).
sustituyendo valores: cos2
Θx= 1- (cos2 55°+ cos2 45°)
cos2 Θx= 1-
(0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del coseno
cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor
del coseno de Θx:
cos Θx= √0.1711= 0.4136.
Una vez obtenido el valor
del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante
F, utilizando la componente Fx, tomando su valor absoluto, es decir de forma
positiva. con la ecuación:
Fx= F cos Θx. despejando F
tenemos: F= Fx/cos Θx
Sustituyendo valores: F=
500/0.4136= 1209 lb.
Una vez obtenido el valor
de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la
fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz.
Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55° Fy= 1209 N x 0.5735
Fy= +694 N
Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.
Finalmente se halla el
valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:
Fx= Fcos Θx. Despejando
cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx=
-0.4135.
Θx= cos-1
-0.4135. Θx= 114.4°.
Con el resultado anterior,
se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo
respectivo será obtuso y viceversa.
Recapitulando: las
respuestas son:
a) Fy= +694 lb, Fz=
+855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4
- Evaluación
del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
1.- Se aplica una fuerza
de 260 libras a 75° al Noroeste. ¿Cuál es la componente y de dicha fuerza.
- 240 N
- 245 N
- 248 N
- 251 N
- 255 N
2.- Con los
siguientes datos, calcula la resultante del sistema de fuerzas todos a partir
del sistema de coordenadas, considerando los ángulos a partir del eje x
positivo. F1=100 N,a 0°, F2=50 N, a 30°, F3=40 N a 120°, F4=50 N a 210°.
A. R =94.43 N, 65.2°
B. R =78.2 N, 63.18°
C. R =95.55 N, 44.2°
D. R =82.17 N, 47.7°
E. R =87.17 N, 23.41°
3.- Una fuerza en el
espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy =+2120 N,
Fz =+795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y,
y z (Θx, Θy, Θz)
A. 135.3°, 60°, 85.6°
B. 118°, 75°, 65.4°
C. 115.1°, 32°, 71.5°
D. 120.2°, 45°, 77.7°
E. 145.1°, 50°, 75.2°
4.-
Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca se
van a unir.
A.
Perpendiculares
B.
Concurrentes
C.
Colineales
D.
Paralelos
E.
Libres
5.-
Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es
aplicable a sólo 2 vectores a la vez.
A.-
Paralelogramo
B.-
Polígono
C.-
Ley de Senos
D.-
Ley de cosenos
E.-
Teorema de Pitágoras
e. Bibliografía
específica del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio
1.- Física General. Héctor Pérez Montiel.
Publicaciones Cultural. Cuarte reimpresión de la Segunda Edición 2004.
2.- Mecánica vectorial para Ingenieros. Ferdinand Beer, Russell Johnstons. Estática. Ed. McGraw-Hill.
Sexta edición 2002.
d.
Desarrollo del Tema 4.2. Equilibrio de una partícula.
La palabra estática se deriva del griego
statikós que significa inmóvil. En virtud de que la dinámica estudia las causas
que originan el reposo o movimiento de los cuerpos, tenemos que la estática
queda comprendida dentro del estudio de la dinámica y analiza las situaciones
que permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de la estática se
sustentan en la primera y tercera ley de Newton.
En
general, la estática estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la
acción de varias fuerzas no se mueven, toda vez que se equilibran entre sí.
También considera los casos en que la resultante de las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo en movimiento es nula y el cuerpo sigue desplazándose con
movimiento rectilíneo uniforme.
En esta sección nos ocuparemos del estudio
del equilibrio de los cuerpos rígidos, aquellos cuya deformación
provocada por una fuerza es mínima al compararla con su tamaño. Ejemplos: vigas
de madera, armaduras de acero o hierro colado. bolas de acero o vidrio,
herramientas metálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas, motocicletas
entre otros.
Aquí
se supone que los cuerpos son perfectamente rígidos, aunque en realidad las
estructuras y máquinas no son absolutamente rígidas y se deforman bajo la
acción de las cargas a que están sometidas; pero al ser tan pequeñas estás
deformaciones, no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la
estructura en consideración.
Un Cuerpo Rígido.- es aquel que no se deforma,
se supone que la mayoría de los cuerpos
considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras
y maquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción
de las cargas que actúan sobre ellos. A pesar de esto generalmente estas
deformaciones son pequeñas y no afectan considerablemente las condiciones de
equilibrio o de movimiento de la estructura que se esté considerando.
Otra de las Leyes de Newton que sirven de base al estudio de la estática
es la Tercera Ley de Newton
conocida como la Ley de la acción y la reacción, la cual se enuncia de la
siguiente forma:
“para
cada fuerza llamada acción debe de haber otra fuerza llamada reacción, que es
de la misma magnitud, pero es opuesta”,
Se conocen y se
han estudiado diferentes métodos para determinar la resultante de diferentes fuerzas que
actúan sobre un cuerpo, pero es posible que estas fuerzas sean iguales entre si
o que su resultante sea cero, en este caso el
efecto de estas fuerzas dará como resultado que el cuerpo en cuestión
esté en estado de equilibrio, según la ley antes mencionada. Por tanto se puede
enunciar que: “Cuando la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, dicho cuerpo
estará en equilibrio”.
El enunciado anterior
corresponde a la primera condición del equilibrio que también se puede enunciar
como: “Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si
y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”
Las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores
deslizantes.
Dos
conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un cuerpo
rígido son el momento de una fuerza con respeto a un punto y el momento de una
fuerza con respecto a un eje.
Como
la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos
escalares y vectoriales de dos vectores cualquier sistema de fuerzas que actúa
sobre un cuerpo rígido puede ser remplazado por un sistema equivalente que
consta una fuerza, que actúa en cierto punto, un par este sistema recibe el
nombre de sistema fuerza-par
Las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos grupos: 1)
fuerzas externas y 2) fuerzas internas.
Las
fuerzas externas representan la acción que ejerce otros cuerpos sobre el cuerpo
rígido. Ellas son las responsables del comportamiento del cuerpo rígido, las
fuerzas externas causaran que el cuerpo se mueva o aseguraran que este
permanezca en reposo.
Las
fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas las que
conforman el cuerpo rígido .si el cuerpo rígido esta constituido
estructuralmente por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas
partes también se definen como fuerzas internas.
Como
ejemplos de fuerzas externas imaginase y considere las fuerzas que actúan sobre
un camión descompuesto que esta siendo jalado hacia delante por varios hombres
mediante cuerdas unidas ala defensa delantera. Las fuerzas externas que actúan
sobre ese camión se muestran en un diagrama de cuerpo libre.
Un
cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio, si las dos
fuerzas tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero en sentidos
opuestos. Entonces, la resultante de las dos fuerzas será cero, un ejemplo de
este caso lo podemos explicar en la siguiente. Fig.
Otro
caso de equilibrio de una partícula en equilibrio esta representado en la siguiente. Fig. Donde
se muestran cuatro fuerzas actuando sobre un punto A. En el siguiente.
Ejemplo la resultante que se obtiene es
igual a cero por lo tanto el cuerpo A esta en equilibrio.
-173.2 Lib.-173.2 Lib. + 346.4 Lib. = 0
EQUILIBRIO
DE FUERZAS CONCURRENTES
1.-
Isaías quiere colocar un foco en su casa, utilizando una de las paredes y el
techo para colgar 2 cuerdas tomando en cuenta que la segunda tiene un ángulo de
40º y el peso del foco es de 2 kg, como lo indica la figura.
Sen q = 0
H
Sen
40º = Vy
V2
Cos q = CA
H
Cos
40º = Vx
V2
å Fy= F1 (COS 40O) –W= 0 åFx= F1 (SENO 40O) –F2=0
F (.7660)-2Kg=0
F2= (2.610)(.6427)
F(.7660)=2Kg
F2=1.677 Kg.
F=2Kg/.7660
F= 2.610 Kg
2.-
Rubisel quiere colocar un ventilador en su casa, utilizando 2 cuerdas, la
primera un ángulo de 60º y el segundo sobre el eje de las X teniendo el peso
del ventilador un valor de 10 kg. Calcular los valores de F1 y F2.
 |
seno
C.o
H
Sen 40º Vy
X2
Vy= (seno60º) (V2)
Coseno C.o
H
åFy=F1 (COS 60)-W=0
å Fx= f1 (SENO 60) –F2=0
F1 (.5)-10Kg=0 (20)(.8660)-F2=0
F1(.5)=
10Kg
F2=17.32Kg
F1=10/.5
F1=20 Kg
3.-
Un peso de 200 libras, es suspendido con una estructura metálica, como se
muestra en la figura, ¿Calcular la tensión de la cuerda y la comprensión de la
varilla supuesta sin más.
 |
Sen Q= C.O
H
Sen 20º Vy
H
COS C.A
H
COS 20º Vx
H
H= (seno 20º)/ (CO)
Vx=(coseno 20º) (H)
200lb/ .3420 ( 9396)(584.79)
Vy=
584.79 lb Vx=
549.47 lb
4.-
Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por
otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30°
con la pared vertical . Dibuje el Diagrama de cuerpo libre y halle los valores
de las cuerdas A y B.
 |
|
Para
las componentes horizontales:
S fx
=0
S fx =-A cos 60° + B = 0
S fx = -A 0.5 + B = 0
B = 0.5 A.........1
Componentes verticales
Sfy =0
Sfy= A sen 60°-100 N=0
(A 0.8660) – 100N=0
A=
100N/0.8660= 115.47 N
Sustituyendo
en la fórmula 1
B
= 0.5 A
B
= 0.5 (115.47)
B
= 57.73 N
5.-
Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anulado a
otros dos cordeles encuéntrese las tensiones en los cordeles a, b, c de acuerdo
a la siguiente figura.
Componentes
horizontales
Sfx
=0
Sfx
= B cos 45°-A cos 60° = 0
Sfx
= B 0.7071–A 0.5=0
Σfx=
B 0.7071= A 0.5
Despejando
A:
A
=B 0.7071/0.5
A
= B 1.4142 ecuación 1.
A = 1.4142 B ........1
Componentes verticales:
Σfy=A sen 60° + B sen 45°- 200 N = 0
Σfy=A 0.8660 + B 0.7071- 200N=0
Σfy= A 0.8660 + B 0.7071 = 200N
Sustituyendo
el valor de A de la ecuación 1:
Σfy= B 1.4142 (0.8660) + B 0.7071=200 N
Σfy= B 1.2246 + B 0.7071= 200N
Σfy= B 1.9317= 200 N
Despejando B tenemos:
Σfy=B= 200/1.9317= 103.53 N
A=
103.53 x 1.4142= 146.41 N
Los
resultados de las tensiones son:
A = 103.53 N; B = 146.41 N; C=
peso del objeto = 200 N.
6.- Dos niños sostienen una
piñata cuyo peso es de 196 Newtons, formando un ángulo de 140° con ambas
cuerdas. Calcular la fuerza aplicada por cada niño.
Diagrama de cuerpo libre
Como el cuerpo está en equilibrio tenemos que:
ΣFx = 0 = T1x+ (-T2x)
ΣFy = 0 = T1y +T2y-P
Sustitución :
ΣFx
= T1 cos 20°- T2 cos 20° = 0
ΣFx = T1 cos 20° = T2 cos 20°.
T1 = T2.
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20°-196 N = 0
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20° = 196 N
como T1= T2= T
2 T sen 20° = 196 N
T = 196 N = 196 N
= 286.54 N
2 sen
20° 2 x 0.3420
Donde
la fuerza aplicada por cada niño es de 286.54 N.
7.-
Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como se ve en
la figura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la
barra.
|
Como
el cuerpo está en equilibrio:
ΣFx
= 0 = E + (-Tx)
ΣFy
= 0 = Ty + (-P)
Sustitución:
ΣFx = E – T cos 35°= 0
E = T cos 35°.
ΣFy = T sen 35°- P = 0
T sen 35° = P
T = P_____ = 500
N =
871.68 N
sen 35° 0.5736
Sustituyendo
el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:
E =
T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.
8.-
Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:
Solución:
Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos que
la componente y del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente x es de
5 metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo
en cuestión por lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente:
(cateto opuesto entre adyacente):
tan
θ= 3 m = 0.6 .
θ = tan-1 0.6 = 31°.
5 m
Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la tensión y el empuje:
ΣFx = E- T cos 31°= 0
ΣFx = E = T cos 31°.
ΣFx = E = T 0.8571
ΣFy = T sen 31°- P = 0
ΣFy = T 0.5150-900 N = 0
ΣFy = T 0.5150 = 900 N
despejando a T tenemos:
T = 900 N = 1747.57 N
0.5150
Ahora
sustituimos el valor de la tensión para hallar el empuje:
E =
T 0.8571. E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 N.
e.
Evaluación del tema. 4.2. Equilibrio de una partícula
1. Dos
cuerdas A y B sostienen a un peso de 420 newtons, la cuerda A forma un ángulo
de 45° respecto al techo en el primer cuadrante y la cuerda B está atada al
muro vertical al otro extremo con un ángulo de 60° en el cuarto cuadrante.
Calcule las tensiones de las cuerdas A y B.
A. A= 1325 N, B= 1275 N
B. A= 1210 N, B= 1340 N
C. A= 1410 N, B= 1150 N
D. A= 1320 N, B=
1575 N
E. A= 1567 N, B=
1785 N
2.- Dos cables A
y B sostienen un peso de 340 Newtons y
ambas penden del techo. La cuerda A se encuentra en el segundo cuadrante y
forma un ángulo de 30° respecto del techo, la cuerda B se encuentra en el
primer cuadrante y forma un ángulo de 60° respecto del techo. Encuentre las
tensiones de las cuerdas A y B.
A. A= 160 N, B=
285 N
B. A= 190 N, B=
222 N
C. A= 150 N, B=
278 N
D. A= 170 N, B= 294 N
E. A= 190 N, B= 280 N
3.- Encuentre las tensiones de
dos cuerdas A y B que sostienen a un peso de 80 Newtons. La cuerda A se
encuentra sobre el eje x en el segundo cuadrante y la cuerda B, forma un ángulo
de 40° respecto al techo en el primer cuadrante.
A.-
A = 85.2 N, B =120 N
B.-
A = 95.3 N, B =124 N
C.-
A = 78.8 N, B = 98 N
D.- A = 89.5 N, B = 90 N
E.- A =75.3 N, B =95 N
4.- Las ecuaciones que
representan la primera condición de equilibrio son:
A. ΣM=0
B. ΣFz=0
C. ΣFy=0
D. ΣFx=0
E. ΣFx=0 ΣFy=0
5.- Encontrar el valor de
las tensiones T1 y T2 de dos cuerdas que sostienen un peso de 100 Newtons y
ambas forman ángulos de 10° con respecto al techo, en el primer y segundo
cuadrantes respectivamente.
- T1 y T2=50 N
- T1 y T2=33.33 N
- T1 y T2=288.03 N
- T1 y T2=75.5 N
- T1 y T2=83.33 N
f.
Bibliografía específica del tema 4.2. Equilibrio
de una partícula. Física General, Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.
Cuarta reimpresión de la Segunda Edición. 2004.
d. Desarrollo del tema
4.3. Momento de una fuerza.
Como se vio anteriormente la primera condición del
equilibrio llamada equilibrio traslacional, se enunciaba de la siguiente forma:
“Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial
de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las
siguientes:
ΣFx= 0 y ΣFy= 0.
Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación,
sin embargo puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas.
Así por ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se debe a la capacidad
que tiene cada fuerza para hacerlo girar.
Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe
cumplirse la segunda condición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo
esté en equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas
que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”.
Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación:
ΣM=0.
Antes de proceder a resolver problemas en los que se
aplica la segunda condición del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos
relacionados con el:
Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea
de acción común, tal vez exista equilibrio trasnacional pero no
necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a
la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede
seguir girando.
La línea de acción de una fuerza es una línea
imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas
direcciones. Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersectan en un
mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación.
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea
de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina
la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por
ejemplo, si reejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una
gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su
centro.
Se ha definido la fuerza como un tirón o un
empujón que tiende a causar un movimiento. El momento de torsión o torca M se
define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En
algunos libros se le llama también momento de la fuerza, como ya hemos
visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de la
fuerza F como por su brazo de palanca r, Por lo tanto definiremos
el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.
Momento de torsión =
fuerza x brazo de palanca.
M = F r
Es preciso entender que en la ecuación anterior r se mide
en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del
momento de torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo
Newton-metro N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).
Cuando una fuerza tiende a girar a un objeto en el
sentido de las manecillas del reloj, se le asigna un signo negativo, y
cuando tiende a girar al objeto en el sentido contrario a las manecillas del
reloj se le asigna un signo positivo.
El momento de una fuerza cuando dicha fuerza aplicada a
un objeto también puede calcularse con la siguiente ecuación:
M = F sen q r.
Se utiliza el seno del ángulo,
puesto que la componente vertical de la fuerza (Fy) es la componente por la
cual el objeto tiende a girar.
Ejercicios
1.-
Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda de una llave de perico
aplicándole una fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar a la
tuerca. Calcular el momento de la fuerza si la llave mide 35 cm y se aplica en
el sentido contrario a las manecillas del reloj.
 |
Datos
F = 850 N
q = 60°
r = 35 cm = .35 m
M = ?
M = F sen q r
M = (850 N)
(sen 60°) (0.35 m)
M
= 257.64 N. m
2.-
Se ejerce una fuerza de 20 Newtons sobre un cable enrollado alrededor de un
tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido
aproximadamente al centro del tambor, si la fuerza se aplica en el sentido de
las manecillas del reloj?.
Datos: Fórmula: Sustitución
F
= -20 N M
= Fr M
= -20 N x 0.06 m.
r
= 0.06 m M
= -1.20 N.m = -1.20 J
M=
Momento
de torsión resultante.
En ocasiones los cuerpos están sometidos
a 2 o más fuerzas que lo mantienen en equilibrio, por lo tanto se debe hallar
un momento de torsión resultante que se obtiene al sumar los momentos de
torsión de cada una de las fuerzas, que se determina con la ecuación:
MR
= M1 + M2 + M3 + M4 + ….. Mn
Donde
MR= Momento de torsión
resultante.
M1, M2. M3, M4= Momentos de torsión
de las fuerzas 1, 2, 3, 4 y n fuerzas
que se aplican al cuerpo.
En este tipo de
problemas se deben aplicar las 2 condiciones del equilibrio (trasnacional y
rotacional), para que el cuerpo esté totalmente en equilibrio. Al aplicar la
primera condición de equilibrio, las fuerzas que actúan hacia arriba se
consideran positivas y las que actúan hacia abajo negativas.
Para calcular el momento de torsión
resultante en un cuerpo siga los siguientes pasos:
1.-
Lea el problema y luego dibuje la figura y marque los datos.
2.-
Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias
y el eje de rotación. Cuando se considere el peso del cuerpo, este recaerá en el
centro geométrico del mismo (a la mitad). En ocasiones hay problemas en los
cuales se desprecia el peso del cuerpo, en este caso los cálculos se harán con
las fuerzas que estén sobre el objeto.
3.-
Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4.-
Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.
5.-
Calcule los brazos de palanca si es necesario.
6.-
Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de las
otras fuerzas, asegúrese de asignar el signo apropiado (+ ó -).
7.-
El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de
torsión de cada fuerza.
Ejercicios:
2.-
Karina quiere colocar 2 floreros en el
jardín de su casa con la ayuda de una varilla unida a la pared y el otro
extremo colgada de una cuerda que tiene un valor de 70 kg. Conociendo que pesan
12 y 25 kg. Calcular la torsión de la barra, con respecto a la pared si ésta
mide 4 metros.
 |
Datos
W1 = 12 Kg
W2 = 25 Kg
F = 70 Kg
R1
= 1 m
R2
= 3 m
R3
= 4 m
q1 = 90°
q2 = 90°
q3 = 80°
Solución:
el peso de los floreros con respecto a la pared, tenderían a rotar a la varilla
en el sentido de las manecillas del reloj, por lo tanto se les asigna un signo
negativo, y la tensión de la cuerda, que es la que sostiene a la varilla
(fuerza de reacción), tendería a rotarla en el sentido contrario a las
manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo positivo. El seno de
90° es igual a uno, por lo cual con sólo multiplicar la fuerza o peso de los 2
floreros por su brazo de palanca a la pared da el mismo resultado.
M = -(1 m)(12kg)(sen 90°)–(25kg)(3m)(sen 90°) + (70kg)(4m)(sen 80°)
M = -87 kg.m+ 275.74 kg.m
M = 188.74 kg.m.
3.-
Calcula las reacciones en la viga, según nos indica el dibujo.
 |
En el caso de R1, y R2 al ser
fuerzas dirigidas hacia arriba se toman
como positivos y las fuerzas F1, F2 y F3 al estar dirigidas hacia abajo se toman
como negativos.
Aplicando
la primera condición de equilibrio:
å¦y = R1 + R2– F1 –
F2 – F3 = 0
å¦y = R1 + R2-6 T-4 T- 5 T= 0
å¦y = R1+R2 -15 T= 0
despejando
tenemos :
å¦y = R1 + R2
= 15 T ecuación 1.
Aplicando
la segunda condición de equilibrio: eligiendo el punto R1 como para medir los brazos de palanca de las
otras fuerzas tenemos: En este caso
la fuerza F1 al aplicarse en el mismo punto que R1, no tiene brazo de palanca, por lo tanto no tiene
momento de torsión, en el caso de F2 y F3,
con respecto a R1 tenderían a rotar a la viga en el sentido de las manecillas del reloj, por lo cual se
les asigna un signo negativo. R2 es una
fuerza dirigida hacia arriba, tendería a rotar a la viga en el sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo
cual se le asigna un signo positivo.
åMR1=
(R2) (5 m) – (F2) (2 m) – (F3)
(5 m)= 0
=
(R2) (5 m)- (4 T) (2 m)- (5 T) (5 m)= 0
=
(R2) (5 m)- 8 T.m- 25 T.m= 0
= (R2) (5m) – 33
T.m= 0
= (R2) (5m)= 33
T.m.
Despejando R2
tenemos:
R2 = 33 T.m
5
m
R2 = 6.6 T
Sustituyendo el valor de R2 en la ecuación 1
tenemos:
R1 + R2 = 15 T. Por lo
tanto R1 = 15 T- R2.
R1= 15 T- 6.6 T = R1= 8.4 T.
4.- Sobre una
barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del punto de
apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el
otro extremo para que la barra quede en equilibrio. b) La Tensión que soporta
el cable que sujeta la barra. considere despreciable el peso de la barra.
Diagrama
de cuerpo libre.
a)
Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que:
ΣF = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)
ΣMo =0 = Mp1 + (-Mp2) = 0…. (2)
Sustituyendo en la
ecuación 1 :
ΣF = T- 60 N-P2= 0
T = 60 N+ P2.
b) Para calcular el valor
de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará al sistema, de donde al
sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en el punto O es
igual a:
ΣMo= P1r1-P2r2= 0
P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:
P2 = P1r1 P2 = 60 N
x 3 m = 90 N
r2 2
m
Por lo tanto el peso que
equilibra es de 90 N y la tensión del cable es:
T = P1 + P2 = 60 N + 90 N
= 150 N
5.- Una viga uniforme de
peso despreciable soporta 2 cargas como se ve en la figura. Calcular a) ¿Cuál
es el valor de la fuerza de reacción R que se ejerce para equilibrar la viga?
b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?.
|
|
Diagrama de cuerpo libre:
|
|
|
Solución: Para que el
cuerpo esté en equilibrio:
ΣF
= 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1)
ΣMA
= 0 = R rR + (-C2r2)…. (2)
Sustituyendo en 1:
ΣF
= R – 300 N- 400 N= 0
R = 700 N
b) Sustituyendo en 2 y
tomando momentos respecto al punto A:
ΣMA
= 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0
ΣMA
= 700 N (rR)- 2400 N.m = 0
ΣMA
= 700 N (rR) = 24400 N.m
despejando rR tenemos:
rR = 2400 N.m = 3.43 m
700 N
por lo tanto, la reacción
tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de las dos cargas y queda
colocada a 3.43 m del punto A.
e. Evaluación del tema
4.3. Momento de una fuerza
1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos
cargas, una de 200 N y otra de 400 N como se ve en la figura. Determinar los
esfuerzos de reacción a que se encuentran sujetos los apoyos, considere
despreciable el peso de la viga.
|
|
A.- RA = 450 N RB = 150 N
B. RA = 350 N, RB = 250 N
C. RA = 200 N, RB = 400 N
D. RA = 150 N RB = 450 N
E. RA = 250 N, RB = 350 N
2.- Considere la situación
que se muestra en la figura siguiente. Una viga uniforme que pesa 200 N está sostenida
por dos soportes A y B. De acuerdo con las distancias y fuerzas que aparecen en
la figura, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes A y B?
- A = 717 N, B = 183 N
- A = 183 N. B = 717 N
- A = 246 N, B = 555 N
- A = 278 N, B = 478 N
- A = 432 N , B = 134 N
3.- Una viga de 6 metros
de longitud, cuyo peso es de 700 N, soporta una carga de 1000 N que forma un
ángulo de 60° y otra de 500 N, como se ve en la figura. Determinar las fuerzas
de reacción de los soportes A y B.
A.- A = 234.5 N. B = 498.9
N
B.- A = 994.3 N, B =
1071.7 N
C.- A = 546.2 N, B = 135.2
N
D. - A = 456.3 N. B =
765.4 N
E.- A= 1071.7 N, B = 994.3
N
4.- El enunciado “La suma
algebraica de todos los momentos de torsión en relación con cualquier eje debe
ser cero”. Pertenece a:
- Segunda Ley de Newton
- Primera Ley de Newton
- Segunda condición de equilibrio
- Primera condición de equilibrio
- Tercera Ley de Newton
5.- El
_____________________ se define como la tendencia a producir un cambio en el
movimiento rotacional de un cuerpo.
A. Brazo de
palanca
B. Cantidad de
movimiento
C. Fuerza
D. Momento de
torsión
E. Impulso
f. Bibliografía
específica del tema 4.3. Momento de una fuerza. Física General. Héctor Pérez
Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.
7.- Evaluación de la
Unidad temática IV. Introducción a la estática de la partícula y del cuerpo
rígido.
a. Trabajo documental.-
Los 3 primeros equipos investigarán en otros libros y sitios de internet los
conceptos de cantidades escalares y vectoriales y ejemplos, y resolver 5
problemas cada equipo hallando el vector resultante, tanto por los métodos
gráficos como por el método analítico.
Los equipos 4, 5 y 6 buscarán más información en libros y en
sitios de internet, los componentes rectangulares de una fuerza en el plano y
resolverán 8 problemas cada equipo, hallando las componentes rectangulares de
los vectores Fx y Fy. Resolviendo para 2 vectores en cada cuadrante.
Los equipos 8, 9 y 10, buscarán más información y en sitios de
internet vectores en el espacio y cada equipo resolverá 4 problemas, hallando
el vector resultante dadas las componentes, hallando los cosenos directores
dada la fuerza resultante y las componentes, hallando las componentes, dada la
fuerza resultante y las distancias de
las componentes (dx, dy, y dz) y Hallando uno de los cosenos directores, la
fuerza resultante y las dos componentes restantes de la fuerza, cuando sólo se
dan dos de los ángulos y una sola de las componentes de la fuerza.
Los equipos 11, 12 y 13, buscarán más información sobre la
primera y segunda condición de equilibrio en libros y sitios de internet y
resolverán 6 ejercicios, 3 aplicando la primera condición de equilibrio
hallando tensiones de cuerdas y 3 aplicando las 2 condiciones de equilibrio
hallando soportes que sostienen a una viga o una barra ligera.
b. Reactivos de Evaluación
de la unidad Temática IV
1.-Una cantidad
____________ se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número
y una unidad. Por ejemplo: rapidez (15 millas/hora), distancia (12 km) y
volumen (200 cm3).
- Absoluta
- Relativa
- Específica
- Vectorial
- Escalar
2.- Una cantidad
_______________ se especifica totalmente por una magnitud y una dirección y
consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo, desplazamiento
(20 metros, norte) y velocidad (40 millas/hora, 30° Noroeste)
- Específica
- Vectorial
- Escalar
- Absoluta
- Relativa
3.- Son 2 métodos gráficos
para sumar vectores
- Teorema de Pitágoras y Ley de cosenos
- Polígono y paralelogramo
- Ley de senos y Teorema de Pitágoras
- Ley de senos y ley de cosenos
- Ley de senos y de tangentes
4.- Es la parte de la
física que estudia a los cuerpos en equilibrio.
- Dinámica
- Termodinámica
- Termología
- Estática
- Mecánica
5.- Tres embarcaciones
ejercen fuerzas ejercen sobre un gancho de amarre. La fuerza 1= 420 N a 60°
Noreste, la fuerza 2= 150 N al norte y la fuerza 3= 500 N a 40° al Noroeste.
Halle la resultante de de estas 3 fuerzas y su dirección.
- 900 N, 95°
- 853 N, 101.7°
- 820 N, 91°
- 755 N, 78°
- 730 N, 75°
6.- Una fuerza actúa en el
origen de un sistema coordenado en la dirección, definida por los ángulos,
Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de -174 lb,
determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud
de la fuerza F.
A. a) 134.4°, b)Fx=89.9 lb, Fz=144.2 lb, F=245 lb
B. a) 135.5°. b)Fx=85.5 lb, Fz=145.5 lb, F=240 lb
C. a) 150.4°, b)Fx=96.6 lb, Fz= 140.4 lb, F=250 lb
D. a) 160.2°, b)Fx= 92.8 lb, Fz=130.3 lb, F=250 lb
E. a) 140.3°, b) Fx= 79.9 lb, Fz= 120.1 lb, F=226 lb
7.-
Una plataforma de 10 ft que pesa 40 libras, está apoyada por los extremos en
escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 libras se ha colocado a 4 ft del
extremo derecho. Encuentre las fuerzan que ejercen los soportes A y B.
A.
A = 128 lb, B =92 lb
B.
A= 140 lb, B =80 lb
C.
A =120 lb, B =100 lb
D.
A =92 lb, B =120 lb
E.
A =80 lb, B = 200 lb
8.- Encontrar las tensiones de 2 cuerdas T1
y T2 que sostienen un peso de 50 Newtons. T1 se encuentra sobre
el eje x en el primer cuadrante y T2 forma un ángulo de 35° con respecto al
muro vertical en el segundo cuadrante.
- T1=52 N y
T2=65.5 N
- T1=38 N y
T2=72.04 N
- T1=44 N y
T2=68.02 N
- T1=35N y T2=61.03 N
- T1=50 N y
T2=75.68 N
9.- Encontrar el valor de las tensiones T1
y T2 que sostienen un peso de 300 Newtons. T1 se encuentra
en el primer cuadrante y forma un ángulo de 56° respecto al techo, T2 se
encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 34° respecto al techo en
el segundo cuadrante.
- T1=125.55 N y
T2=233.3 N
- T1=248.71 N y
T2=167.77 N
- T1=167.77 N y T2=248.71
- T1=140.8 N y T2=288.88 N
- T1=206.3 N y T2=125.8 N
10.- Encontrar
las tensiones T1 y T2 de 2 cuerdas, que sostienen un peso de 400
Newtons, T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 40° con
respecto al techo, T2 se encuentra sobre el eje x en forma horizontal en el
segundo cuadrante.
A. T1=622.28 N, T2=476.67 N
- T1=602.32 N T2=422.3 N
- T1=588.2 N, T2=408.2 N
- T1=570.8 N, T2=444.4 N
- T!=615.55 N,
T2=435.5 N.
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